Aufgaben


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“Funktionsuntersuchung”

Der Graph einer ganzrationalen Funktion \(g\) dritten Grades mit Definitionsbereich \(\mathbb{R}\) hat den Tiefpunkt \((0|0)\) und den Wendepunkt \(\left( -\frac{1}{2}\Bigl|\frac{5}{4}\right)\).

Runden Sie im Folgenden alle Ergebnisse auf zwei Stellen nach dem Komma.

\(\\[1em]\)

Funktion g

  1. Bestimmen Sie einen Funktionsterm von \(g\) .

\(\qquad \big[\text{Zur Kontrolle: } \; g(x) = \frac{5}{2}x^2 \cdot (2x + 3 ) \big]\)

(5 P)

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  1. Erstellen Sie für \(-1{,}5 \leq x \leq 0{,}5\) eine Wertetabelle für die Funktion \(g\) mit der Schrittweite \(0{,}25\) und zeichnen Sie den Graphen.

    (4 P)

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  1. Betrachtet wird die Tangente an den Graphen von \(g\) in dessen Wendepunkt (die sogenannte Wendetangente). Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem diese Tangente die \(x\)-Achse schneidet.

    (3 P)

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  1. Zeigen Sie, dass die Wendetangente von \(g\) und der Graph von \(g\) nur den Wendepunkt gemeinsam haben.

    (3 P)

\(\\[1em]\)

Funktion h

Die Abbildung zeigt den Graphen der auf \(\mathbb{R}\) definierten Funktion \(h\) mit

\( h(x) = 5x^2 \cdot e^{\frac{2}{3}x^3} . \)

my image

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  1. Zeigen Sie, dass die Funktion \(h\) keine negativen Funktionswerte hat.

    (2 P)

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  1. Zeigen Sie, dass

\( \qquad h'(x) = 10x \cdot \left(1 + x^3 \right) \cdot e^{\frac{2}{3}x^3} \)

ein Term der 1. Ableitungsfunktion von \(h\) ist.

(2 P)

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  1. Die \(x\)-Achse ist eine waagerechte Tangente an den Graphen von \(h\).
    Weisen Sie nach, dass neben der \(x\)-Achse die Gerade \(t\) mit

\( \qquad t(x) = 5 \cdot e^{-\frac{2}{3}} \)

die einzig weitere waagerechte Tangente an den Graphen von \(h\) ist.

(4 P)

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  1. Die Tangente \(t\) und der Graph von \(h\) haben genau zwei Punkte gemeinsam. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von der Tangente \(t\) und dem Graphen von \(h\) vollständig eingeschlossen wird.

    (4 P)

\(\\[1em]\)

Vergleich der Funktionen g und h

  1. Bestimmen Sie die prozentuale Abweichung der mittleren Steigung des Graphen \(g\) von der mittleren Steigung des Graphen \(h\) im Bereich \(-1 \leq x \leq 0\) .

    (3 P)

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  1. Es gilt

\( \qquad \Big( h(1) - g(1) \Big) \cdot \Big( h(2) - g(2) \Big) < 0 \)

Geben Sie die Bedeutung dieser Tatsache hinsichtlich der gegenseitigen Lage der Graphen von \(g\) und \(h\) im Bereich \(1 < x < 2\) an. Begründen Sie Ihre Angabe.

(4 P)

\(\\[1em]\)

Abbildungen

  1. Beurteilen Sie mithilfe der Abbildung des Graphen der Funktion \(h\)

my image

die folgende Aussage:

“Für \(-1.5 \leq x \leq 1\) ändert sich beim Graphen jeder Stammfunktion von h genau einmal das Krümmungsverhalten.”

(3 P)

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  1. Eine der in den Abbildungen abgebildeten Graphen I, II oder III ist der Graph der in \(\mathbb{R}\) definierten Funktion \(H\) mit

\( \qquad H(x) = \displaystyle{\int}_0^x h(t) dt . \)

Entscheiden Sie, welcher dies ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung.

my image

(3 P)

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